Category: երկրաչափություն

Առաջադրանքներ։

1․GEOGEBRA ծրագրով  գծել ABC բութանկյուն եռանկյուն, նշել եռանկյան ամենամեծ կողմը։

Ամենամեծ կողմը AC-ն է։

2․GEOGEBRA ծրագրով  գծել ABC  ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ուղիղ անկյունը C-ն է, նշել եռանկյան ամենամեծ կողմը։

Եռանկյուն ամենամեծ կողմը AB-ն է։

3․Տրված է CAB եռանկյունը: Նշել  A անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) AB բ) CA գ) CB

4․ABC եռանկյան մեջ նշել CAB անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) BC բ) CD գ) AB դ) DB ե) DA զ) CA

5․ Ընտրել  նկարում ցուցադրված եռանկյան տեսակը: Հնարավոր է մի քանի ճիշտ պատասխան:

• բութանկյուն
• սուրանկյուն
• հավասարասրուն
• ուղղանկյուն
• ոչ հավասարասրուն
• հավասարակողմ

6․ Հաշվել ACB եռանկյան պարագիծը, եթե AB=AC=BC=12 դմ:

P=12+12+12=36 դմ

7․ Հաշվել  ACB եռանկյան պարագիծը, եթե CA=BC=17սմ  և BA=22 սմ․

P=17+17+22=56 դմ

8․ Գտնել  ACB եռանկյան պարագիծը, եթե CA=55 սմ, BC=33սմ և AB=44սմ։

P=55+33+44=132 դմ

9․Հաշվել հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա պարագիծը հավասար է 222 սմ-ի:

Կողմեր=222:3=74

10․Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 60մ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է 21մ-ի: Հաշվել եռանկյան հիմքը:

21մ+21մ=42մ

60մ-42մ=18մ(հիմք)

11․ Եռանկյան պարագիծը հավասար է 50 սմ-ի: Եռանկյան մի կողմը 20 սմ է: Հաշվել եռանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե հայտնի է, որ դրանք իրար հավասար են:

50սմ-20սմ=30սմ

30սմ:2=15սմ(մյուս երկու կողմերը)

12․ Տրված է ΔABC, AC=BC: Եռանկյան հիմքը 12 դմ-ով փոքր է սրունքից: ABC եռանկյան պարագիծը հավասար է 132 դմ-ի: Հաշվել եռանկյան կողմերը:

Եռանկյան կողմեր՝ 48դմ(սրունք), 48դմ(սրունք), 36դմ(հիմք):

13․ Տրված են AKM եռանկյան անկյունների մեծությունները՝ ∠A=62°,∠K=87°,∠M=31°:

Թվարկիր եռանկյան կողմերը՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը:

AK-ամենափոքր կողմը

KM-միջին կողմը(փոքր մեծից, մեծ փոքրից)

AM-ամենամեծ կողմը

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=34°, ∠B=78°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

∠A=34°

∠B=78°

34°+78°=112°

180°-112°=68°

∠C=68°

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 27° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90°-27°=63°

3.ABT հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AT հիմքի T անկյան TM կիսորդը և ∠TMB=68°-ի: Որոշել եռանկյան անկյունների մեծությունները: 

4․ Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները և եռանկյան տեսակը, եթե ∠N:∠L:∠M=6:2:4

6+2+4=12

180°:12=15°

15×6=90°

15×2=30°

15×4=60°

Այս պատկերը ուղղանկյուն եռանկյուն է։

5․ AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտեք ∠ADC-ն, եթե ∠C=50⁰։

6․Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը․

ա)180-150=30

180-110=70

180-100=80

բ)180-110=70

գ)180-138=42

42+28=70

180-70=110

7․ Գտնել եռանկյան արտաքին անկյունը։

ա)65+45=110

180-110=70

180-70=110

?=110

բ)180-110=70

50+70=120

180-120=60

?=120

գ)80+80=160

180-160=20

?=160

8․ Գտնել անհայտ անկյունները․

y₁°=59+90=149°

180°-149°=31°(y₁)

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում սուրանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել սուրանկյուն եռանկյուն։

Եթե եռանկյան երեք անկյունները սուր են, ապա եռանկյունը կոչվում է սուրանկյուն եռանկյուն:

2. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում բութանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել բութանկյուն եռանկյուն։

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը բութ , ապա եռանկյունը կոչվում է բութանկյուն եռանկյուն:

3. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել ուղղանկյուն եռանկյուն։

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:

4․ Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը։

Ուղանկյան եռանկյան կողմերը կոչվում են՝ ներքնագիծ, էջ, էջ։

5․ Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու բութ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Իհարկե չի կարող։ Բութ անկյունը 90 աստիճանից մեծ է, իսկ երկու բութ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճանից բարձր։

6․Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու ուղիղ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Իհարկե չի կարող։ Ուղիղ անկյունը 90 աստիճան է, իսկ երկու ուղիղ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճան, բայց այս դեպքում չի լինում երրորդ անկյունը։

7․ Եռանկյունն ունի 32 աստիճանի երկու անկյուն: Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

8․ Հայտնի է, որ, MLK-ն եռանկյան անկյուններից ∠MLK=51° է: Նշել MLK եռանկյան տեսակը.

• սուրանկյուն
• բութանկյուն
• հնարավոր չէ պարզել
• ուղղանկյուն

9․ Տրված է NEC եռանկյունը: ∠N=27°, ∠E=99°: Որոշել եռանկյան տեսակը։

Եռանկյունը բութանկյուն է, քանի որ ∠E-ն 90 աստիճանից բարձր է, այն չի կարող լինել ուղղանկյուն եռանկյուն կամ սուրանկյուն եռանկյուն։

10․Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 35° է:

Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը և եռանկյան տեսակը։

35°+35°=70°

180°-70°=110°(գագաթի անկյան մեծությունը)

Եռանկյունը հավասարասրուն է։

11․Տրված է KEG եռանկյունը և նրա ∠GKE և ∠GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշել կիսորդների կազմած ∠KME անկյունը, եթե ∠GKE=48° և ∠GEK=58°-ի:

Տրված է KEG եռանկյունը և նրա∡GKE և ∡GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշիր կիսորդների կազմած∡KME անկյունը, եթե ∡GKE=48° և ∡GEK=58°-ի:

∡GKE=48°

∡GEK=58°

∡KME-?

58°:2=29°

48°:2=24°(1-ին)

29°+24°=53°(2-րդ)

180°-53°=127°(գագաթի անկյան մեծությունը)

Թեմա՝ Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ+++

Թեմա՝ Եռանկյան անկյունների գումարը:

Առաջադրանքներ։

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=25°, ∠B=98°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

∠A=25°

∠B=98°

25°+98°=123°

180°-123°=57°

∠C=57°

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 68° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90°-68°=22°

3. Տրված է ADM հավասարասրուն եռանկյան գագաթի ∠D անկյան մեծությունը` ∠D=138°: Որոշել հիմքին առընթեր անկյունների մեծությունները:

180°-138°=42°

42°:2=21°

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 48° է: Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը:

48°x2=96°

180°-96°=84°

5. Որոշել KMN եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠K:∠M:∠N=4:3:5:

4+3+5=12

180°:12=15°

15°x4=60°(∠K)

15°x3=45°(∠M)

15°x5=75°(∠N)

6․ Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 115⁰ է: Գտնել եռանկյան անկյունները:

Գագաթի անկյունը(B)=115°

115°:2=57° 30″ (A և C)

7․ Գտնել անհայտ անկյունները։

ա)180°-150°=30°

70°+30°=100°

180°-100°=80°(N)

բ)70°+64°=134°

180°-134°=46°

?=46°

գ)54°+56°=110°

180°-110°=70°(C)

դ)180°-120°=60°(C)

180°-87°=93°(B)

60°+93°=153°

180°-153°=27°(A)

ե)?=20°

8․ Որոշել AKM հավասարասրուն եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե հիմքին հանդիպակած K գագաթի անկյան կից անկյունը հավասար է 156°-ի:

180°-156°=24°

K=24°

180°-24°=156°

156°:2=78°(անկյունների մեծությունը)

9․Գտնել հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունը, եթե գագաթի անկյունը 12°-ով մեծ է հիմքին առընթեր անկյունից։

180°-12°=168°

168°:3=56°(առընթեր անկյուններ)

56°+12°=68°(գագաթի անկյունը)

Թեմա՝ Եռանկյան անկյունների գումարը:

Առաջադրանքներ։

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=25°, ∠B=98°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

∠A=25°

∠B=98°

25°+98°=123°

180°-123°=57°

∠C=57°

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 68° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90°-68°=22°

3. Տրված է ADM հավասարասրուն եռանկյան գագաթի ∠D անկյան մեծությունը` ∠D=138°: Որոշել հիմքին առընթեր անկյունների մեծությունները:

180°-138°=42°

42°:2=21°

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 48° է: Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը:

48°x2=96°

180°-96°=84°

5. Որոշել KMN եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠K:∠M:∠N=4:3:5:

4+3+5=12

180°:12=15°

15°x4=60°(∠K)

15°x3=45°(∠M)

15°x5=75°(∠N)

6․ Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 115⁰ է: Գտնել եռանկյան անկյունները:

Գագաթի անկյունը(B)=115°

115°:2=57° 30″ (A և C)

7․ Գտնել անհայտ անկյունները։

ա)180°-150°=30°

70°+30°=100°

180°-100°=80°(N)

բ)70°+64°=134°

180°-134°=46°

?=46°

գ)54°+56°=110°

180°-110°=70°(C)

դ)180°-120°=60°(C)

180°-87°=93°(B)

60°+93°=153°

180°-153°=27°(A)

ե)?=20°

8․ Որոշել AKM հավասարասրուն եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե հիմքին հանդիպակած K գագաթի անկյան կից անկյունը հավասար է 156°-ի:

180°-156°=24°

K=24°

180°-24°=156°

156°:2=78°(անկյունների մեծությունը)

9․Գտնել հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունը, եթե գագաթի անկյունը 12°-ով մեծ է հիմքին առընթեր անկյունից։

180°-12°=168°

168°:3=56°(առընթեր անկյուններ)

56°+12°=68°(գագաթի անկյունը)

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչի՞ է հավասար եռանկյան անկյունների գումարը։

Եռանկյան անկյունների գումարը 180° է: 

2․Ինչի՞ է հավասար ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է:

3․Ինչի՞ է հավասար հավասարակողմ եռանկյան յուրաքանչյուր անկյունը։

Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:

4․Ինչի՞ է հավասար եռանկյան արտաքին անկյունը։

Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը: 

5․Ըստ գծագրի գտնել անհայտ անկյունը․

ա)?=180⁰:3=60⁰

բ)180⁰-70⁰=110⁰

110⁰:2=55⁰

?=55⁰

գ)45⁰+35⁰=80⁰

180⁰-80⁰=100⁰

?=100⁰

դ)180⁰-100⁰=80⁰

80⁰:2=40⁰

?=40⁰

ե)90⁰-40⁰=50⁰

?=50⁰

զ)90⁰+20⁰=110⁰

180⁰-110⁰=70⁰

F=70⁰

է)

6․Գտեք ABC եռանկյան C անկյունը, եթե՝

ա)∠A =67⁰, ∠B=54⁰, ∠C=59⁰

67⁰+54⁰=121⁰

180⁰-121⁰=59⁰

բ)∠A =36⁰, ∠B=120⁰, ∠C=24⁰

36⁰+120⁰=156⁰

180⁰-156⁰=24⁰

7. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե նրա անկյուններից մեկը հավասար է՝ ա) 36⁰ , բ) 60⁰ , գ) 110⁰

ա)36⁰+36⁰=72⁰

180⁰-72⁰=108⁰

Տարբերակ 2

180⁰-36⁰=144⁰

144⁰:2=72⁰

բ)60⁰+60⁰=120⁰

180⁰-120⁰=60⁰

գ)180⁰-110⁰=70⁰

70⁰:2=35⁰

8. Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4

2+3+4=9

180⁰:9=20⁰

20⁰x2=40⁰

20⁰x3=60⁰

20⁰x4=80⁰

Առաջադրանքներ

1․ Տրված է ∠ABC = 70°, իսկ ∠BCD = 110°։ АВ և CD ուղիղները կարո՞ղ են լինել՝   ա) զուգահեռ,    բ) հատվող

2․ Նկարում а, b և с ուղիղները հատվում են d հատողով։ Հայտնի է, որ ∠1 = 42°, ∠2 = 140°,    ∠3 = 138°։ Պարզել а, b և с ուղիղներից որոնք են իրար զուգահեռ։

∠1 = 42°+ ∠3 = 138°=180°

Այսինքն զուգահեռ են a և c ուղիղները։

3․ Տրված է, որ а || b և ∠1 + ∠2 = 122° ։Գտնել ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8։

∠1 = 61^o
∠2 = 61^o
∠3 = 119^o
∠4 = 61^o
∠5 = 119^o
∠6 = 119^o
∠7 = 61^o
∠8 = 119^o

4․ Տրված է, որ AD || ВС, ∠1 = 50°, ∠2 = 65°։Գտնել ∠ABC.

∠ABC=50+65=115^o

5․ Տրված է, որ  m || n, ∠2-ը մեծ է ∠1-ից 30°-ով։ Գտնել ∠1, ∠2.

180°-30°=150°

150°:2=75°(1-ին)

75°+30=105°(2-րդ)

 6․ Տրված է, որ АС ║ МК, АВ = ВК, ∠АКМ = 40°. Գտնել ∠КВС.

АС ║ МК

АВ = ВК

∠АКМ = 40°

<KBC-?

<BAK=40°

<BKA=40°

?=80°

<KBC=80°

7․ Տրված է, որ АВ ║ МК և հայտնի է, որ  ∠РМК-ն կազմում է ∠САВ-ն մեկ երրորդ մասը։ Գտնել այդ անկյունները։

180:4=45°

45×3=135°

8․ АD ║ ВС, ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Գտնել АВСD քառանկյան անկյունները։

<A=65^o

<B=115^o

<C=100^o

<D=80^o

9․ Գտնել x-ը և y-ը, եթե а || b։

x=80^o

y=180^o-80^o=100^o

10․ Գտնել x-ը և y-ը, եթե а || b։

x=40^o
y=180-40=140^o

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Տրված է  a և b զուգահեռ ուղիղները և c հատողը: 4-րդ և 5-րդ անկյունների գումարը 300˚ է: Գտեք մյուս բոլոր անկյունները:

<4=300/2=150^o
<5=300/2=150^o
<3=180-150=30^o
<8=180-150=30^o
<1=<8=30^o
<2=<5=150^o
<7=<4=150^o
<6=<3=30^o

2․ Գտնել բոլոր անկյունները, եթե a||b:

3․ Գտնել ∠2-ը , եթե a||b։

<2=107^o

4․Գտնել ∠CAD-ն, եթե  a||b

<CAD=22^o

5․Գտնել ∠2-ը, եթե a||b:

<2=72^o

6․Գտնել ∠2-ը, եթե a||b:

<2=180-56=124^o

7․ Գտնել ∠2-ը, եթե a||b:

<2=180-<1

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ի՞նչ է աքսիոմը։

Աքսիոմի օրինակ է այն պնդումը, ըստ որի ՝ ցանկացած երկու կետով անցնում էուղիղ, ընդ որում միայն մեկը։

2․Ի՞նչ է նշանակում աքսիոմ բառը։

Աքսիոմ բառն առաջացել է հունական աքսիոս բառից, որը բառացի նշանակում է արժեքավոր, արժանի։

3․ Ո՞րն է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը։

4․ Գրել զուգահեռ ուղիղների աքսիոմի հետևանքները։

5․ Լուծել խնդիրը և պատասխանը հիմնավորել։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը:

Կարող ենք տանել մեկ ուղիղ։

6․ Լուծել խնդիրը և պատասխանը հիմնավորել։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը:

Կարող ենք դիտարկել երկու դեպք։

Դեպք 1. հատում են 4 ուղիղներն էլ

Դեպք 2. հատում են 3 ուղիղները

7. Լուծել խնդիրը և պատասխանը հիմնավորել։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը:

Մի դեպքում հատում է, մի դեպքում ոչ։

8. Լուծել խնդիրը և պատասխանը հիմնավորել։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը:

Նկարում ամեն ինչ պատկերված է։

9. Ըստ նկարի տվյալների՝ գտնել ∠1 -ը։ 

73^o անկյան կից անկյունը հավասար է 180-73=107^o

Եթե երկու ուղիղներ հատողով հատելիս համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են։

<1=92^o որպես համապատասխան անկյուններ։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1)Նշիր նկարին համապատասխան պնդումները:

Այս ուղիղները`

• հատվում են
• զուգահեռ են

2․Եթե հարթության վրա երկու ուղիղներ զուգահեռ են, ապա այդ ուղիղները չեն հատվում:

• ճիշտ է
• սխալ է

3․Ճիշտ է արդյո՞ք հետևյալ պնդումը`AB∥ IE:

Այս ուղիղները իրար զուգահեռ են, քանի որ ուղիղները համապատասխան են և ունեն հավասար անկյուններ։

4․c ուղիղը հատում է a և b ուղիղները: Գտիր այնպիսի անկյուն, որը ∠4-ի հետ կազմի միակողմանի անկյունների զույգ:

∠4-ի հետ 7-ը կկազմի միակողմանի անկյունների զույգ։

5.ABC անկյունը 65⁰ է, իսկ BCD անկյունը՝ 115⁰։ AB և CD ուղիղները կարո՞ղ են, արդյոք, լինել՝

ա)զուգահեռ են, եթե BC-ն AD-ի մի կողմում է      բ)հատվող

6.Գծիր ABC եռանկյունը և տար ED∥AC հատվածները: Հայտնի է, ր՝ D∈AB,E∈BC, ∢CBA=77°,∢BDE=55°

180-132=48°

Գտիր∡BCA։

∡BCA=48°, քանի որ DEB և ABC-ն համապատասխան են, և զուգահեռ։

7․Երկու զուգահեռ ուղիղներ երրորդով հատելիս առաջացած խաչադիր անկյունների գումարը հավասար է 210⁰ ։Գտնել այդ անկլյունները։

Քանի որ խաչադիր անկյունները իրար հավասար են, ապա՝․ 210։2=105⁰ յուրաքանչյուր անկյունը։

8․ Երկու զուգահեռ ուղիղներ երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 46⁰-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյունները։

180-46=134⁰

134:2=67⁰ (անկյուն 1)

67+46=113⁰ (անկյուն 2)

9․BK հատվածը ABC եռանկյան կիսորդ է։ K կետով տարված է ուղիղ, որը BC կողմը հատում է M կետում այնպես, որ BM=MK: Ապացուցել, որ KM||AB:

BM=MK

<1=<2

BKM-ն հավասարասրուն է

<2=BKM

<1=<2=<1=<BKM

Դա էլ նշանակում է, որ KM||AB։